凱利公式是什麼？如何科學計算最優倉位？有何局限性？

不知道有多少人想過，賭錢的時候能夠永遠都贏錢。投資的時候永遠只賺錢。但你知道嗎？確實有這樣神奇的公式，能夠讓人逢賭必贏，投資不賠錢。它就是凱利公式，一個神奇的數學公式。那它到底是什麼？如何保證讓投資人永遠不賠錢？

凱利公式是什麼？

凱利公式（Kelly Criterion）是一種科學的資金管理工具，用於在多次重複投資或交易中確定每次投入資金的最優比例，以實現長期資產增長最大化。

它強調風險控制與複利成長的平衡，避免「孤注一擲」的風險。

• 提出者：約翰·拉里·凱利(John Larry Kelly，1923–1965)

• 推廣者：愛德華·索普(Edward Thorp)－將其成功應用於21點遊戲與股票投資，實現了長期穩定獲利。

1.核心理念：用數學量化“下注的尺度”

它的邏輯非常簡單：

• 當機率有利時－加大投入

• 當機率不利時——減少甚至不下注

• 透過長期重複+ 複利效應，讓資產指數成長。

2.優點

• 量化風險與效益

• 利用複利提高長期獲利

• 避免一把全押導致破產

3.核心用途

凱利公式為投資者提供了一個明確的問題答案：

“應該在這筆交易上投入多少比例的資金，才能在長期中贏得最多？”

它適用於：

• 股票投資

• 量化交易

• 外匯與期貨

• 賭博策略（如21點、運動博彩）

總之，凱利公式提供了最優投資比例f ^∗的計算方法，使長期收益最大化，同時避免本金耗盡。

凱利公式推導與理論基礎

它是一種科學的資金管理方法，核心問題是：在多次重複投資或賭博中，如何確定每次投入資金的比例，以實現資產的長期最大化成長？

1. 基本假設

假設一次投資有兩種可能結果：

• 贏的機率： p

• 輸的機率： q=1−p

• 賭注賠率： b （下注1元，贏了可得到b元利潤）

凱利公式的目標是找到一個最優投資比例f ^∗ ，使得在多次重複下注後，資產的對數增長率最大化（即長期複利收益最大）。

2. 公式推導

最優資金比例的推導核心是最大化長期幾何平均收益。
在數學上，這等價於最大化期望對數收益：

E[ln⁡(W)]=pln⁡(1+bf)+qln⁡(1−f)

對f求導並設導數為零，整理得：

f∗=bp−q/b=bp−(1−p)/b=bp−1+p/b=(b+1)p−1/b

其中：

• f ^∗ = 每次投資的最優資金比例

• b = 投資賠率（獲利金額/ 投資金額）

• p = 投資成功機率

• q=1−p = 投資失敗機率

結論說明：

• 當f ^∗ > 0 → 可以下注，且比例越高說明機會越有利

• 當f ^∗ ≤ 0 → 不下注，因為期望收益為負

舉例：假設玩拋硬幣遊戲，每局賭注1 元：

• 猜中→ 贏2 元（b = 2）

• 猜錯→ 輸1 元

• 成功機率p=0.5

• 失敗機率q=0.5

代入公式：

f ^∗ =2×0.5−0.5÷2=1−0.5÷2=0.25

說明：每次投入本金的25%，長期收益最大化。

如上圖，在100 次拋硬幣賭局中，
採用凱利公式（紅線）投資的收益曲線明顯優於隨機或全倉操作。

• 凱利策略：穩健成長
  

• 全倉操作：波動劇烈、風險高

推論：

• 沒有100%勝率的賭局，不值得「All in」：因為一旦失敗將徹底破產
  

• 期望收益率為正時，凱利策略最有效：它能量化“下注多少才合理”

• 多次重複交易才能反映凱利公式優勢：短期內可能波動，但長期收益最優

凱利公式是怎麼來的？

其是投資和賭博中常用的資金管理方法，用來計算「每次應該投入多少資金」才能讓長期收益最大化。它的故事源自於一位天才科學家的奇思妙想。

1.科學家的靈感

約翰·拉里·凱利(John Larry Kelly, 1923–1965)是美國物理學家，曾在二戰中擔任海軍飛行員。博士畢業後，他進入了著名的貝爾實驗室，與資訊理論之父克勞德·香農共事。

凱利興趣廣泛，既愛研究，又愛冒險。他喜歡橋牌、賽車，還自己改裝車子，是個「科學狂人」。

2.來自電視節目的啟發

凱利的靈感來自一檔熱門電視答題節目－《六萬四千美元的問題》(The $64.000 Question)。

當時，有人利用提前取得的電視訊號進行賭博套利。

凱利因此想到：如果一個人掌握了部分訊息，怎樣才能在反覆下注中讓財富長期增長?

他把這個問題轉化成數學模型，提出了一個著名的凱利公式。

3.從實驗室走進賭場

凱利的論文原名為《資訊理論與賭博》，1956年在貝爾實驗室期刊發表。

起初反響平平，但後來被數學家**愛德華·索普(Edward Thorp)**用於賭場21點。

索普用電腦分析勝率，並用凱利公式決定下注比例。

結果——他真的贏了賭場。

後來，他把經驗寫成暢銷書《戰勝莊家》，並將凱利思想帶入投資領域。

4.現代意義

它的核心思想是：

“在有優勢時多投，沒優勢時少投或不投。”

它能幫助投資者：

• 控制風險，避免「梭哈」；

• 利用複利效應，實現長期收益最大化；

• 合理分配資金，在機率有利時放大優勢。

如今，凱利廣泛應用於：

• 投資組合管理
  

• 量化交易

• 博彩資金分配

凱利公式告訴我們：投資成功的關鍵不在“贏多少次”，而在“每次投入多少”。

凱利公式如何科學計算最優部位？

在投資和交易中，科學計算最優部位是實現長期穩定成長的關鍵。凱利公式就是這樣一個核心工具，它能幫助投資人在長期重複交易中：

• 最大化資金成長率

• 控制爆倉風險

1.基本原理

適用對象：任何可「贏或輸」的系統，例如股票、期貨、外匯或短線交易。

假設：

• 勝率： p

• 虧損機率： q=1−p

• 損益比（Risk-Reward Ratio）： b=平均獲利/平均虧損

則最優倉位比例為：

f ^∗ =bp−q/b=bp−(1−p)/b

其中：

• f ^∗ ：每次交易建議投入的資金佔總資產比例

• p ：交易勝率

• q ：失敗機率

• b ：盈虧比

核心理念：

• 勝率高、盈虧比大→ 可加大部位

• 勝率低、盈虧比小→ 減少部位或不交易

舉例說明：假設某短線交易者統計如下：

• 勝率p=0.6

• 盈虧比b=1

• f ^∗ = 0.2

▷建議部位：每次投入20%的資金若帳戶資金10 萬元，每次交易投入：

10萬× 20% = 2萬元

2.盈虧比不同的情況

例如：

• 勝率p=0.4

• 盈虧比b=2

• f ^∗ = 0.1

▷最優部位為10%

儘管勝率下降，高盈虧比仍能支撐正向投入。

3 .應用總結

凱利公式不僅告訴投資者“是否值得交易”，還幫助科學計算最優倉位，實現：

• 長期複利成長

• 控制風險與資金曲線波動

• 避免盲目加倉或全倉操作

凱利公式如何優化與資金管理？

它不僅能計算最適投入比例，更能透過風險控制與資金分配優化，幫助投資人在長期投資中實現收益最大化、風險最小化。

1.風險控制最佳化公式

對於風險厭惡型投資者，凱利公式可透過調整公式來控制風險，確保單筆投資失敗時不會造成重大損失。

優化公式：

最大部位數量=最大停損總資產×風險百分比÷每張投資的最大損失

舉例說明：假設投資人某次交易數據如下：

• 總資金：100 萬元

• 每張選擇權最大損失：500 元

• 風險比例：1%

計算：

頭寸數量=1000000×0.01÷500=20

• 投資者最多可持有20張選擇權。
  

• 即使全部虧損，總損失也僅為資產的1%。

▷這是一種穩健的資金管理方式，讓投資人即使在極端情況下，也能避免「毀滅性回撤」。

2.多策略資金配置

在實際操作中，許多投資者會同時運行多種策略。
透過分別計算每種策略的凱利資金比例，再綜合調整，就能實現收益與風險的動態平衡。

舉例說明：假設投資人同時執行A、B、C、D、E 五種策略，每種策略的勝率和賠率如下表所示：

計算最優資金比例如下：

• 策略A： f ^∗ ≈0.44

• 策略B： f ^∗ ≈0.69

• 策略C： f ^∗ ≈0.42

• 策略D： f ^∗ ≈0.67

• 策略E： f ^∗ ≈0.89

實際資金分配

假設總資金為100萬元，可先平均分配到每種策略（20 萬元），再依最優比例調整：

▷透過這種方式，投資人可以在多策略之間達到平衡，兼顧收益與風險。

3.應用總結

• 風險控制：透過凱利優化，限定單次最大損失，避免本金被毀滅。

• 多策略管理：結合不同勝率與賠率，靈活分配資金。

• 長期複利：實現穩健成長，讓收益在時間中複利放大。

凱利公式的最佳化，不僅是一種數學方法，更是一套科學的資金管理系統。它讓投資人在複雜市場中，做到－有優勢時進取，無優勢時防守。

凱利公式的限制有哪些？

它雖然能在理論上最大化長期收益，但在真實投資環境中並非「萬能法則」。由於市場的不確定性與人性的複雜性，它在實際運用上存在著多方面的限制。

1.勝率與賠率估計不準確

凱利公式過度依賴精確數據，要求投資人能準確估計：

• 勝率（p）：成功的機率

• 賠率（b）：收益與風險比

然而在現實中，這兩個數據往往無法準確量化。投資者通常依賴：

• 歷史數據

• 技術分析

• 基本面研究

但這些方法都存在著限制──歷史不等於未來，技術指標主觀性強，而基本面又受宏觀因素幹擾。

舉例說明：假設投資人對某股票的估計：

• 勝率p=0.6

• 賠率b=1.5

計算得：

f* = (1.5×0.6 - 0.4)/1.5 ≈ 0.33 → 建議投入33%

若實際勝率為：

• 勝率p=0.5
  

• 賠率b=1.2

計算投資比例應為：

f* = (1.2×0.5 - 0.5)/1.2 ≈ 0.083 → 應僅投入8%

▷誤差將導致過度投資或虧損放大。

2.市場環境動態

凱利公式假設勝率和賠率在多次投資中保持不變，但實際市場(股票、期貨、外匯)會隨時間波動。

實際挑戰

• 市場波動→ 勝率、賠率即時變化

• 政策變動、地緣政治→ 突發風險

• 流動性風險→ 難以如預期平倉

舉例說明：假設外匯交易策略初始：

• 勝率p=0.5

• 賠率b=1.2

投資比例：

f ^∗ ≈0.167

若市場波動後：

• 勝率降至p=0.4

• 賠率降至b=1.0

新的投資比例：

f ^∗ =1.0×0.4−0.6÷1.0=−0.2

▷理論提示“不應下注”，若繼續操作則可能虧損。
現實結論：凱利策略必須動態調整，而非一成不變。

3.心理因素

投資者情緒可能導致實際操作偏離凱利公式，具體如下：

▷例如：

凱利策略建議投資20%，但投資人因貪婪實際投入30%。
若市場反轉，下跌損失將大幅超過理論預期。

4.長期重複假設的限制

凱利公式的數學優勢來自於「無限次重複實驗」的前提。然而，投資世界中：

• 機會有限

• 資本成本高

• 情緒與時間窗口受限

舉例說明：假設短期股票交易策略：

• 勝率p=0.6

• 賠率b=1.5

凱利計算比例：f ^∗ =0.4

若僅有數次機會，投資人應縮小部位至20%，以保持彈性。
▷凱利策略適合長期複利投資，不適合短線遊戲。

凱利公式是一種資金分配框架，不是交易聖杯。它能幫你判斷“應該投多少”，但不能告訴你“何時投、投什麼”。

半凱利公式策略是什麼？

由於在實際應用中，凱利公式往往帶來較高波動。為平衡風險與效益，許多投資者採用更穩健的「半凱利策略」(Half Kelly)。這種策略透過僅投入凱利計算比例的一半，在控制波動的同時實現穩健成長。

1.半凱利策略的原理

①凱莉公式與波動風險

凱利得出的投資比例f ^∗ ，理論上能達到收益最大化，但波動極大。

例如：建議投入40%，若市場短期下跌，帳戶波動會非常明顯。

結論：

• 凱利追求收益最優，而非風險最小。
  

• 對於風險厭惡型或長期投資者而言，需要更穩健的變體。

②半凱利策略的定義

半凱利策略的核心思想：

僅投入凱利公式計算出的比例的一半。

例如，

• 若凱利策略建議投入40%，則半凱利策略只投入20%。
  

• 這樣既能保留成長潛力，又能顯著降低帳戶曲線的波動。

透過降低投入比例，投資人可在保留收益潛力的同時，大幅減少資金曲線的波動幅度。

2.半凱利策略的三大優勢

①降低波動風險

半凱利策略能有效平滑收益曲線，減少短期回檔。
即使連續虧損，損失也較小。

②保持收益潛力

雖然半凱利減少了投資比例，但其長期複合收益通常僅略低於全凱利策略。

更重要的是，較低的波動能讓投資人心理更穩健，不易在短期虧損中放棄策略。

研究顯示：

在實際市場中，半凱利策略的長期回報僅比全凱利低約25%，但波動率下降近50%。

③靈活性與適應性

半凱利策略提供了高度靈活的風險控制機制：

• 市場波動加大→ 可進一步降至¼ 凱利;
  

• 市場趨勢穩定→ 可適度提高至¾ 凱利。

這種靈活機制讓投資人能在不同市況下更從容應對風險。

舉例說明：假設投資人對某檔股票：

• 勝率p=0.6
  

• 賠率b=1.5

計算凱利比例：

f ^∗ =bp−q/b=1.5×0.6−0.4/1.5=0.4

• 全凱利策略：投入40%

• 半凱利策略：投入20%

假設投資者的總資金為100,000 元，市場出現短期波動，股票價格下跌30%。市場波動下的結果比較：

▷結果：半凱利策略損失更小，資金曲線更平穩。

結語

凱利公式不僅是數學公式，更是科學投資理念：

“在有優勢時進取，無優勢時防守。”

從凱利到索普，再到現代量化交易，它貫穿了數學、機率與實踐的完美結合。掌握凱利，投資不僅學會了計算最優倉位，更學會了在複雜市場中用理性、複利和風險管理實現長期穩健盈利。

投資不是賭博，而是科學與智慧的結合。凱利公式，正是這門科學的指南針。

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