凯利公式是什么？如何科学计算最优仓位？有何局限性？

不知道有多少人想过，赌钱的时候能够永远都赢钱。投资的时候永远只赚钱。但你知道吗？确实有这样一个神奇的公式，能够让人逢赌必赢，投资不赔钱。它就是凯利公式，一个神奇的数学公式。那它到底是什么？如何保证让投资者永远不赔钱？

凯利公式是什么？

凯利公式（Kelly Criterion）是一种科学的资金管理工具，用于在多次重复投资或交易中确定每次投入资金的最优比例，以实现长期资产增长最大化。

它强调风险控制与复利增长的平衡，避免“孤注一掷”的风险。

• 提出者：约翰·拉里·凯利(John Larry Kelly，1923–1965)

• 推广者：爱德华·索普(Edward Thorp)——将其成功应用于21点游戏与股票投资，实现了长期稳定盈利。

1.核心理念：用数学量化“下注的尺度”

它的逻辑非常简单：

• 当概率有利时——加大投入

• 当概率不利时——减少甚至不下注

• 通过长期重复 + 复利效应，让资产实现指数级增长。

2.优点

• 量化风险与收益

• 利用复利提高长期盈利

• 避免一把全押导致破产

3.核心用途

凯利公式为投资者提供了一个明确的问题答案：

“应该在这笔交易上投入多少比例的资金，才能在长期中赢得最多？”

它适用于：

• 股票投资

• 量化交易

• 外汇与期货

• 赌博策略（如21点、体育博彩）

总之，凯利公式提供了最优投资比例 f^∗的计算方法，使长期收益最大化，同时避免本金被耗尽。

凯利公式推导与理论基础

它是一种科学的资金管理方法，核心问题是：在多次重复投资或赌博中，如何确定每次投入资金的比例，以实现资产的长期最大化增长？

1. 基本假设

假设一次投资有两种可能结果：

• 赢的概率：p

• 输的概率：q=1−p

• 赌注赔率：b（下注1元，赢了可得到 b元利润）

凯利公式的目标是找到一个最优投资比例 f^∗，使得在多次重复下注后，资产的对数增长率最大化（即长期复利收益最大）。

2. 公式推导

最优资金比例的推导核心是最大化长期几何平均收益。
在数学上，这等价于最大化期望对数收益：

E[ln⁡(W)]=pln⁡(1+bf)+qln⁡(1−f)

对f求导并令导数为零，整理得：

f∗=bp−q/b=bp−(1−p)/b=bp−1+p/b=(b+1)p−1/b

其中：

• f^∗ = 每次投资的最优资金比例

• b= 投资赔率（盈利金额 / 投资金额）

• p= 投资成功概率

• q=1−p = 投资失败概率

结论说明：

• 当 f^∗ > 0 → 可以下注，且比例越高说明机会越有利

• 当 f^∗ ≤ 0 → 不下注，因为期望收益为负

举例说明：假设玩抛硬币游戏，每局赌注 1 元：

• 猜中 → 赢 2 元（b = 2）

• 猜错 → 输 1 元

• 成功概率 p=0.5

• 失败概率 q=0.5

代入公式：

f^∗=2×0.5−0.5÷2=1−0.5÷2=0.25

说明：每次投入本金的 25%，长期收益最大化。

如上图，在 100 次抛硬币赌局中，
采用凯利公式（红线）投资的收益曲线明显优于随机或全仓操作。

• 凯利策略：稳健增长
  

• 全仓操作：波动剧烈、风险高

推论：

• 没有100%胜率的赌局，不值得“All in”：因为一旦失败将彻底破产
  

• 期望收益率为正时，凯利策略最有效：它能量化“下注多少才合理”

• 多次重复交易才能体现凯利公式优势：短期内可能波动，但长期收益最优

凯利公式是怎么来的？

其是投资和赌博中常用的资金管理方法，用来计算“每次应该投入多少资金”才能让长期收益最大化。它的故事源自一位天才科学家的奇思妙想。

1.科学家的灵感

约翰·拉里·凯利(John Larry Kelly, 1923–1965)是美国物理学家，曾在二战中担任海军飞行员。博士毕业后，他进入了著名的贝尔实验室，与信息论之父克劳德·香农共事。

凯利兴趣广泛，既爱研究，又爱冒险。他喜欢桥牌、赛车，还自己改装车子，是个“科学狂人”。

2.来自电视节目的启发

凯利的灵感来自一档热门电视答题节目——《六万四千美元的问题》(The $64.000 Question)。

当时，有人利用提前获取的电视信号进行赌博套利。

凯利因此想到：如果一个人掌握了部分信息，怎样才能在反复下注中让财富长期增长?

他把这个问题转化成数学模型，提出了著名的凯利公式。

3.从实验室走进赌场

凯利的论文最初名为《信息论与赌博》，1956年在贝尔实验室期刊上发表。

起初反响平平，但后来被数学家**爱德华·索普(Edward Thorp)**用于赌场21点。

索普用计算机分析胜率，并用凯利公式决定下注比例。

结果——他真的赢了赌场。

后来，他把经验写成畅销书《战胜庄家》，并将凯利思想带入投资领域。

4.现代意义

它的核心思想是：

“在有优势时多投，没优势时少投或不投。”

它能帮助投资者：

• 控制风险，避免“梭哈”；

• 利用复利效应，实现长期收益最大化；

• 合理分配资金，在概率有利时放大优势。

如今，凯利广泛应用于：

• 投资组合管理
  

• 量化交易

• 博彩资金分配

凯利公式告诉我们：投资成功的关键不在“赢多少次”，而在“每次投入多少”。

凯利公式如何科学计算最优仓位？

在投资和交易中，科学计算最优仓位是实现长期稳定增长的关键。凯利公式就是这样一个核心工具，它能帮助投资者在长期重复交易中：

• 最大化资金增长率

• 控制爆仓风险

1.基本原理

适用对象：任何可“赢或输”的系统，例如股票、期货、外汇或短线交易。

假设：

• 胜率：p

• 亏损概率：q=1−p

• 盈亏比（Risk-Reward Ratio）：b=平均盈利/平均亏损

则最优仓位比例为：

f^∗=bp−q/b=bp−(1−p)/b

其中：

• f^∗：每次交易建议投入的资金占总资产比例

• p：交易胜率

• q：失败概率

• b：盈亏比

核心理念：

• 胜率高、盈亏比大 → 可加大仓位

• 胜率低、盈亏比小 → 减少仓位或不交易

举例说明：假设某短线交易者统计数据如下：

• 胜率 p=0.6

• 盈亏比 b=1

• f^∗=0.2

▷建议仓位：每次投入 20% 的资金
若账户资金10 万元，每次交易投入：

10万×20%=2万元

2.盈亏比不同的情况

例如：

• 胜率 p=0.4

• 盈亏比 b=2

• f^∗=0.1

▷最优仓位为10%

尽管胜率下降，但高盈亏比仍能支撑正向投入。

3.应用总结

凯利公式不仅告诉投资者“是否值得交易”，还帮助科学计算最优仓位，实现：

• 长期复利增长

• 控制风险与资金曲线波动

• 避免盲目加仓或全仓操作

凯利公式如何优化与资金管理？

它不仅能计算最优投入比例，更能通过风险控制与资金分配优化，帮助投资者在长期投资中实现收益最大化、风险最小化。

1.风险控制优化公式

对于风险厌恶型投资者，凯利公式可通过调整公式来控制风险，确保单笔投资失败时不会造成重大损失。

优化公式：

最大头寸数量=最大止损总资产×风险百分比÷每张投资的最大损失

举例说明：假设投资者某次交易数据如下：

• 总资金：100 万元

• 每张期权最大损失：500 元

• 风险比例：1%

计算：

头寸数量=1000000×0.01÷500=20

• 投资者最多可持有20张期权。
  

• 即使全部亏损，总损失也仅为资产的 1%。

▷这是一种稳健的资金管理方式，让投资者即使在极端情况下，也能避免“毁灭性回撤”。

2.多策略资金配置

在实际操作中，许多投资者会同时运行多种策略。
通过分别计算每种策略的凯利资金比例，再综合调整，就能实现收益与风险的动态平衡。

举例说明：假设投资者同时运行 A、B、C、D、E 五种策略，每种策略的胜率和赔率如下表所示：

计算最优资金比例如下：

• 策略 A：f^∗≈0.44

• 策略 B：f^∗≈0.69

• 策略 C：f^∗≈0.42

• 策略 D：f^∗≈0.67

• 策略 E：f^∗≈0.89

实际资金分配

假设总资金为100万元，可先平均分配到每种策略（20 万元），再根据最优比例进行调整：

▷通过这种方式，投资者可以在多策略之间实现平衡，兼顾收益与风险。

3.应用总结

• 风险控制：通过凯利优化，限定单次最大损失，避免本金被毁灭。

• 多策略管理：结合不同胜率与赔率，灵活分配资金。

• 长期复利：实现稳健增长，让收益在时间中复利放大。

凯利公式的优化，不仅是一种数学方法，更是一套科学的资金管理体系。它让投资者在复杂市场中，做到——有优势时进取，无优势时防守。

凯利公式的局限性有哪些？

它虽然能在理论上最大化长期收益，但在真实投资环境中并非“万能法则”。由于市场的不确定性与人性的复杂性，它在实际运用中存在多方面的局限。

1.胜率与赔率估计不准确

凯利公式过度依赖精确数据，要求投资者能准确估计：

• 胜率（p）：成功的概率

• 赔率（b）：收益与风险比

然而在现实中，这两个数据往往无法准确量化。投资者通常依赖：

• 历史数据

• 技术分析

• 基本面研究

但这些方法都存在局限——历史并不等于未来，技术指标主观性强，而基本面又受宏观因素干扰。

举例说明：假设投资者对某股票的估计：

• 胜率 p=0.6

• 赔率 b=1.5

计算得：

f* = (1.5×0.6 - 0.4)/1.5 ≈ 0.33 → 建议投入 33%

如果实际胜率为：

• 胜率p=0.5
  

• 赔率 b=1.2

计算投资比例应为：

f* = (1.2×0.5 - 0.5)/1.2 ≈ 0.083 → 应仅投入 8%

▷误差将导致过度投资或亏损放大。

2.市场环境动态

凯利公式假设胜率和赔率在多次投资中保持不变，但实际市场(股票、期货、外汇)会随时间波动。

实际挑战

• 市场波动 → 胜率、赔率实时变化

• 政策变动、地缘政治 → 突发风险

• 流动性风险 → 难以按预期平仓

举例说明：假设外汇交易策略初始：

• 胜率 p=0.5

• 赔率 b=1.2

投资比例：

f^∗≈0.167

若市场波动后：

• 胜率降至 p=0.4

• 赔率降至 b=1.0

新的投资比例：

f^∗=1.0×0.4−0.6÷1.0=−0.2

▷理论提示“不应下注”，若继续操作则可能亏损。
现实结论：凯利策略必须动态调整，而非一成不变。

3.心理因素

投资者情绪可能导致实际操作偏离凯利公式，具体如下：

▷例如：

凯利策略建议投资 20%，但投资者因贪婪实际投入 30%。
若市场反转，下跌损失将大幅超过理论预期。

4.长期重复假设的局限

凯利公式的数学优势来源于“无限次重复实验”的前提。然而，投资世界中：

• 机会有限

• 资本成本高

• 情绪与时间窗口受限

举例说明：假设短期股票交易策略：

• 胜率 p=0.6

• 赔率 b=1.5

凯利计算比例：f^∗=0.4

若仅有数次机会，投资者应缩小仓位至 20%，以保持灵活性。
▷凯利策略适合长期复利投资，不适合短线博弈。

凯利公式是一种资金分配框架，不是交易圣杯。它能帮你判断“应该投多少”，但不能告诉你“何时投、投什么”。

半凯利公式策略是什么？

由于在实际应用中，凯利公式往往带来较高波动。为平衡风险与收益，许多投资者采用更稳健的“半凯利策略”(Half Kelly)。这种策略通过仅投入凯利计算比例的一半，在控制波动的同时实现稳健增长。

1.半凯利策略的原理

①凯利公式与波动风险

凯利得出的投资比例 f^∗，理论上能实现收益最大化，但波动极大。

例如：建议投入 40%，若市场短期下跌，账户波动会非常明显。

结论：

• 凯利追求收益最优，而非风险最小。
  

• 对于风险厌恶型或长期投资者而言，需要更稳健的变体。

②半凯利策略的定义

半凯利策略的核心思想：

仅投入凯利公式计算出的比例的一半。

例如，

• 若凯利策略建议投入 40%，则半凯利策略只投入 20%。
  

• 这样既能保留增长潜力，又能显著降低账户曲线的波动。

通过降低投入比例，投资者可在保留收益潜力的同时，显著减少资金曲线的波动幅度。

2.半凯利策略的三大优势

①降低波动风险

半凯利策略能有效平滑收益曲线，减少短期回撤。
即使连续亏损，损失也较小。

②保持收益潜力

虽然半凯利减少了投资比例，但其长期复合收益通常仅略低于全凯利策略。

更重要的是，较低的波动能让投资者心理更加稳健，不易在短期亏损中放弃策略。

研究表明：

在实际市场中，半凯利策略的长期回报仅比全凯利低约 25%，但波动率下降近 50%。

③灵活性与适应性

半凯利策略提供了高度灵活的风险控制机制：

• 市场波动加大 → 可进一步降至 ¼ 凯利;
  

• 市场趋势稳定 → 可适度提高至 ¾ 凯利。

这种灵活机制让投资者能在不同市况下更从容应对风险。

举例说明：假设投资者对某只股票：

• 胜率 p=0.6
  

• 赔率 b=1.5

计算凯利比例：

f^∗=bp−q/b=1.5×0.6−0.4/1.5=0.4

• 全凯利策略：投入 40%

• 半凯利策略：投入 20%

假设投资者的总资金为100000 元，市场出现短期波动，股票价格下跌 30%。市场波动下的结果对比：

▷结果：半凯利策略损失更小，资金曲线更平稳。

结语

凯利公式不仅是一种数学公式，更是一种科学投资理念：

“在有优势时进取，无优势时防守。”

从凯利到索普，再到现代量化交易，它贯穿了数学、概率与实践的完美结合。掌握凯利，投资不仅学会了计算最优仓位，更学会了在复杂市场中用理性、复利和风险管理实现长期稳健盈利。

投资不是赌博，而是科学与智慧的结合。凯利公式，正是这门科学的指南针。

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